Cet illustre mathématicien ne figure pas dans les dictionnaires courants et pourtant, il est, entre autres, le principal promoteur de l'introduction en Europe de la notation arithmétique - dite arabe - que l'on utilise aujourd'hui. Il ne doit pas être confondu, bien évidemment, avec Léonard de Vinci, artiste mais aussi mathématicien, qui vécu près de 300 ans après.

Notre Léonard est né à Pise vers 1175. Fils du marchand BONACCI, l'abréviation latine de "filius Bonaccii " a entraîné le surnom sous lequel Léonard est connu. Ce fut un grand voyageur qui, tout en aidant son père dans son commerce, en profita pour apprendre les mathématiques. Il compris que la notation arabe — peut-être hindoue, à l'origine — était la meilleure pour écrire les nombres et édita un livre, en 1202, sur l'algèbre et l'arithmétique, intitulé "Liber abaci" . Ce livre eut un grand succès et fut très largement lu pendant les deux siècles qui suivirent.

En 1225, l'empereur Frédéric II organisa un tournoi de mathématiques, à Pise, afin de tester Léonard qui remporta la compétition, en résolvant tous les problèmes posés, aucun des autres compétiteurs n’arrivant d’ailleurs à en résoudre un seul. Un de ces problèmes consistait à trouver un nombre, pas un entier bien sûr, tel que son carré augmenté ou diminué de 5 restait un carré.

Léonardo montra qu'il ne pouvait s'agir de nombres rationnels ou faisant appel à des racines carrées et donna une approximation de la solution.

Parmi les autres ouvrages de Léonard de Pise, citons "Practica geometriæ", un livre de géométrie et de trigonométrie publié en 1220 et "Liber kadratorum", un livre de problèmes numériques dans lequel il propose une approximation intéressante de p : 864/275

Bien sûr, la célèbre suite qui porte son nom est un des éléments essentiels de sa notoriété :

Un = Un -1 + Un - 2 , avec u0=1 et u1 = 1

Les termes de cette suite sont 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

Cette suite est rencontrée dans un nombre considérable d'éléments de la vie de tous les jours et dans des représentations ou concepts mathématiques qui virent le jour ultérieurement.

On trouve ces termes dans le nombre de pétales observé en moyenne dans certaines fleurs : les delphiniums ont 5 pétales, les célandines en ont 8, les doubles delphiniums 13 , les asters 21 , les marguerites 34 , les marguerites de Michael 55 ou 89 ...!

On la trouve, encore, en géométrie dans la mesure des cotés des polygones réguliers, en génétique dans la formation des coquilles d'escargot ou de coquillages marins liée à des spirales logarithmiques, en botanique dans l’arrangement des graines de tournesol ou l’enroulement de certaines feuilles de plantes sur leur tige, dans la théorie des nombres, dans le triangle de Pascal ; on observe son utilisation dans les sculptures de Dürer ou dans la représentation du corps humain par Léonard de Vinci et ce, par l’intermédiaire du nombre d’or (F).

Ce nombre est tel que l'on a  (F + 1)/F = F  

Ce dernier est la racine positive de l’équation

X^2 - X - 1 = 0

C'est également la limite vers laquelle converge le rapport Un/Un+1 de deux termes consécutifs de la suite dont le nombre de propriétés en ont fait une mine pour les analystes et les problémistes.

C’est ainsi que Sam Loyd, par un savant découpage, a vulgarisé une énigme géométrique dans laquelle un rectangle de 13 x 5 possède apparemment le même nombre de carrés unitaires qu’un carré de 8 x 8 ; remarquons que 5, 8 et 13 sont trois termes consécutifs de la suite de Fibonacci : pourriez-vous alors essayer de généraliser la propriété utilisée ? Ce thème fait l'objet de nombreux puzzles commercialisés, en particulier par Sarcone

Rappelons (sic !) enfin, que la suite de Fibonacci a participé a la résolution du dixième problème de David Hilbert (1862-1943) relatif aux équations diophantiennes.

 A. Zalmanski
article paru dans Jouer Jeux Mathématiques n°7 (mars-avril 1993)