Base Ludimath

Carrés magiques

Bibliographie

Je me bornerai à sortir de ma collection quelques exemples de carrés magiques d'ordre et de structures caractéristiques, à base d'entiers consécutifs.

Ordre 7 à enceintes d'ordre 3, 5 et 7

La page suivante est constitué par un applet basé sur votre date de naissance

Un développement important est survenu en 2005, avec le SUDOKU, jeu mettant en oeuvre les propriétés des carrés gréco-latins.

Fractales

Entre les mathématiques et l'art, ces courbes à dimensions fractionnaires laissent rêveur. Fermées sur elles-mêmes elle ont malgré tout une longueur infinie et peuvent remplir entièrement une surface. Les possibilités picturales sont immenses et il existe des applications musicales.

Le site des fractales

Listes de serveurs (Chaffey High School, en reconstruction au 18 décembre 2003)
ou le superbe site de Louvet

Bibliographie :

Benoît Mandelbrot : Les objets fractals, Flammarion (1975) (La base par l "inventeur")

Benoît Mandelbrot : The fractal geometry of nature, Freeman (1983)
Martin Gardner : Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers, The Mathematical Association of America (1997)
Theoni Pappas : The Joy of Mathematics, Wide World Publishing (1989)
D. Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin (1991)
Ian Stewart : Les fractals, Belin (1982)
Systèmes dynamiques (N° hors série de Tangente) Editions Archimède (remarquable compilation pratique et théorique. Belle bibliographie )
Heinz-Otto Peitgen The Beauty of Fractals

Générateurs de fractales

Filmer. Création d'animations de fractales.

Java Fractals. : Plusieurs applets pour créer diverses sortes de fractales
Image Forge. : Mandelbrot Set, Julia Set, Fractal Planet Generator (Java Applet par Ed Hynan). Remarquable.
Quintessential Sophistry Home Page. Dans cette page il y a un lien pour télécharger QS Flame, programme gratuit de Michael Sargent pour obtenir des fractales de type "flamme", créées par Scott Draves.
Hop - Fractals in Motion. Un générateur d'attracteurs étranges (Michael Peters.)
Fractal Links on Paul N. Lee's website. Une compilation de nombreux programmes.

Internaugraphie

19000 occurrences « fractales » en français sont proposées par Google, 1500 si on précise courbes fractales et comme à l’accoutumée il faut séparer les sites n’existant plus ou à liens rompus, rechercher les sites importants qui ne sont pas toujours les mieux référencés, surtout lorsqu’il s’agit de sites d’universitaires hébergés avec des URL pour le moins vagabondes.
Sortent du lot :
*Jean-Pierre Louvet : découvertes, constructions, dimensions, couleurs des fractales un superbe album personnel d’œuvres fractales artistiques, une page de liens foisonnant vers les meilleurs sites mondiaux traitant des fractales.
http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/jpl01.html

Le magazine Futura-Sciences a donné carte blanche sur le sujet à Jean-Pierre Louvet. Il y aborde en dix points des sujets aussi variés que les fractales naturelles, les applications des fractales ou les quaternions.
http://www.futura-sciences.com/decouvrir/d/dossier234-1.php
*Brève histoire illustrée des fractales par Jean-François Colonna avec ses galeries d'images fractales déterministes, non déterministes et artistiques.
http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/descripteurs/Fractal.01.html

Jean-François Colonna est également présent avec une galerie, pont entre l'Art et la Science, constituée par plus de 1300 images fixes ou animées, pour la plupart issues de fractales :
http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/descripteurs/AVirtualSpaceTimeTravelMachine.Ang.html

Plus simples
Site dictionnaire de Gérard Villemin avec, à sa rubrique « FRACTAL », définitions, propriétés, courbes et surfaces des plus simples aux plus complexes.
http://membres.lycos.fr/villemingerard/Suite/FracCour.htm

Pour simples curieux comme son nom l’indique :
http://www.ac-grenoble.fr/lycee/LAB/jr2000/curieux/pages/fractal.htm

Pour les images
Impressionnante galerie de 8000 images mais aussi tracés et animation grâce au logiciel GECIF de Jean-Christophe Michel. Téléchargeable. En prime le nombre d’or retrouvé dans des courbes de Mandelbrot. À ne pas manquer.
http://framy.free.fr/index.php

Très belles images également, de Laurent Antoni. (hyperfractales, paysages, flamefrax…
Economiseurs d’écrans très poétiques.
http://perso.club-internet.fr/dreamp/gal1.htm

Charles Vassalo avec une étude fort intéressante sur l’art fractal : mythes, développement, peintres et de nombreux exemples dont des images issues de fractales de Markus-Lyapounov.
Bibliographie et liens avec des artistes algoristes et des outils de construction (l’auteur travaille sur Macintosh)
http://perso.wanadoo.fr/charles.vassallo/index.html
Le site donne accès à l’anneau internaute dédié aux fractales artistiques (Infinite Fractal Loop)
http://www.fractalus.com/ifl
Je citerai enfin le travail original d’Alain Stark avec son essai sur la sexualité et la reproduction informatique des fractales :
http://www.medialsace.fr/ifs/fr/presentation.msql

Nous ne mentionnerons que trois sites de langue anglaise, mais qui à eux trois contiennent tout :

The SPANKY Fractal Database de Noel Giffin, extrêmement complet à tout point de vue : définitions, exemples, liens, ressources, galerie et comprenant le fameux logiciel téléchargeable de créations fractales Fractint
http://spanky.triumf.ca/www/welcome1.html

Le monde de Fractalus, remarquable de variété et de poésie qui abrite de très nombreuse galeries, ainsi que l'Infernal Fractal Loop. Un coup d'oeil sur une des ses plus belles galeries signée Kerry Mitchell

L’inévitable CRC d’Eric Weisstein : techniquement complet, bien illustré, aisé de recherches de lecture et de navigation, bibliographie imposante : 136 articles comprenant le mot Fractal.
http://mathworld.wolfram.com

Nombres premiers

Les records

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) de George Woltman est le site de référence de ces nombres qui doivent leur nom à un grand mathématicien français Marin Mersenne.
Voir aussi l'excellente page de Chris Caldwell.
Le site français de GIMPS vient d'ouvrir et propose la participation au programme PrimeNet ce qui est le cas de ce site.
Vous pouvez charger les 909526 chiffres de ce nombre, à toutes fins utiles !
Exercice (résolu !) : trouvez 10 nombres premiers consécutifs en progression arithmétique .

RECORDS

Le plus grand nombre premier connu est 2^3021377 - 1 (909526 chiffres) trouvé par GIMPS en Janvier 1998.

Les précédents étaient :

2^2976221-1 (GIMPS) en Septembre 1997
2^1398269-1, trouvé par Joël Armengaud en Novembre 1996
2^1257787-1 (378632 chiffres), David Slowinski et Paul Gage en 1996
2^859433-1 (258716 chiffres) 33ème nombre de Mersenne, David Slowinski et Paul Gage en 1994

Quelques records au mardi 26 octobre 2010

Le plus grand non-nombre de Mersenne connu est 3*2^303093+1 (91241 chiffres), Jeffrey Young en 1998. Paul Leyland a établi une table de factorisation des nombres de Mersenne .

Le plus grand nombre premier "ordinaire" connu est 2^11279+1)/3 (3395 chiffres).

Les plus grands nombres premiers "jumeaux" connus sont 242206083*2^38880 +/- 1 (11713 chiffres), Karl-Heinz Indlekofer et A. Jarai, le 8 novembre 1995. En juillet 1993, Dubner détenait le record avec 1691232*1001*10^4020+/-1 (4030 chiffres).

La plus grande suite de nombres premiers en progression arithmétique contient 22 nombres : 11410337850553 + 4609098694200 i, avec i = 0...21 (Paul Pritchard et Anthony Thyssen 17 Mars 1993.)

Les nombres de Sophie Germain sont tels que P et 2P+1 sont premiers. Le plus grand nombre connu est 92305*2^16998-1 (5122 chiffres) trouvé en 1998.

Le nombre Pi

Problèmes classiques de l'Antiquité

Calcul de Pi

Si 132 décimales vous suffisent voici un moyen mnémotechnique !

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
Glorieux Archimède, artiste ingénieur,
Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,
Soit ton nom conservé par de savants grimoires !

Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
O quadrature ! vieux tourment du Philosophe !

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?

Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra
Dédoublera chaque élément antérieur ;

Toujours de l'orbe calculée approchera ;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
Professeur, enseignez son problème avec zèle !

Histoire et nature de Pi
Pi et les probabilités
Quadrature du cercle
Trisection de l'angle
Duplication du Cube
Paradoxes de Zénon
Paradoxes sur l'infini

Ludimaths : bibliographie

Le très grand nombre de thèmes amène à la nécessité d'une approche systématique de la bibliographie et de l'internaugraphie ayant trait au sujet

ESSAIS DE CLASSIFICATION METHODIQUE DES JEUX ET RECREATIONS MATHEMATIQUES

d'après des orientations adaptées de William L. Schaaf et Michel Criton

Généralités et ouvrages de bases

Gardner Gardner et encore Gardner

Dudeney
Lucas
Rouse-Ball
Kraitchik
Smullyan
Steinhaus
Pierre Berloquin

Récréations algébriques et arithmétiques (tableau en cours de réalisation)

Récréations liées à la théorie des nombres et aux nombres

Equations diophantiennes

Nombres de Fermat
Théorème de Fermat
Nombres de Mersenne
Nombres aimables
Nombres curieux
Nombres parfaits
Nombres premiers avec internaugraphie
Nombre d'or
Divisibilité
Suites entière : Sloane l'incontournable

Récréations géométriques

Problème d'Apollonius 

Problème du papillon
Echelles croisées
Courbes ornementales
Courbes à largeur constantes.
Fractales.

Géométries finies.
Les quatre dimensions.
Constructions géométriques
Problèmes et puzzles géométriques
Courbes de Lissajous
Problème de Malfatti
Constructions de Mascheroni
Théorème de Morley
Illusions d'optique
Quadrature du carré et des rectangles
Symétries
Tangrams

Récréations topologiques

Nœuds, cordes et lacets

Théorie des graphes
Circuits d'Hamilton
Trajets, réseaux et maillages
Géométrie du Taxi
Coloriages de cartes
Flexagones
Labyrinthes
Bande de Moebius
Pliage de papier - Origami
Polyominoes
Polytopes
Polyhèdres réguliers
Partages - Pavages- Emballages
Soma

Relation de Pythagore

Récréations pythagoréennes

Le théorème de Pythagore

Triplets de Pythagore

Récréations logiques

Logigrilles : une spécialité japonaise créative et recherchée.

Combinatoire et probabilités

Problèmes de permutation et de combinaisons

Problèmes de tournois, rondes, désignations.
Théorie des jeux
Jeux de chance, paris

Récréations par arrangements

Tic-Tac-Toe

Taquins
Solitaires
Jeu de Nim
Jeux de société
Puzzles
Rubik's
Jeux et tours de cartes
Carrés et cubes colorés
Modèles mathématiques
Polyominos Pentomino et Polyamants

Logique et paradoxes

pages en cours de construction. En attendant

Logique : Oedipeland - : Chiffres et lettres - Self-enumerating pangrams

Récréations diverses

Paradoxes et logiques

Humour et mathématiques
Sports et mathématiques
Philatélie et mathématiques
Curiosités diverses

Activités ludiques

Clubs, programmes, expositions

Concours et Compétitions
Quizz
Mathématiques et arts
Esthétique et mathématiques
Architecture et mathématiques
Ornementation et design
Perspectives et figures impossibles.
Littérature et mathématiques
Musique et mathématiques entre autres composition sur les nombres de Fibonacci Mike Keith
Musique et ordinateurs
Simulations.

Automates cellulaires.
Jeu de la vie (Conway)

http://www.multimania.com/ldavid/ en français, très simple
http://www.mindspring.com/~alanh/life/ applet avec champ de grande taille
http://www.pentadecathlon.com/LifeInfo/Objects/Objects.html un des tout premiers sites : InfoLine
http://www.mirwoj.opus.chelm.pl/whatis_life.html Très élaboré, bien expliqué, très nombreux exemples.
http://www.albany.net/~hello/life.htm pour les experts : code source en Forth
http://alife.co.uk/ : splendide. De véritables innovations par rapport au jeu de base

Puzzles : Casse-tête manuels

Nature et mathématiques

Botanique et mathématiques

Abeilles et cellules de cires
Flocons de neige
Fractales

SoDoKu

Règles du jeu et historique :

Il s'agit d'une forme de carré gréco-latin tels que décrit par Leonhard Euler, un mathématicien suisse du 18ème siècle.

Dans le SuDoku on fournit quelques chiffres d'une grille 9*9 subdivisée en 9 régions de 3x3. Le jeu consiste à la compléter par les seules logique et patience en respectant les règles suivantes :

chaque ligne doit contenir tous les chiffres de 1 à 9 une seule fois
chaque colonne doit contenir tous les chiffres de 1 à 9
chaque région doit contenir tous les chiffres de 1 à 9

La forme en 9x9 a été découverte dans les années 80 dans un magazine américain puis a connu un certain essor au Japon. Il a fallu attendre 1997 pour qu'il fasse l'objet de recherche et de mise au point informatique, permettant de générer des grilles, puis la publication de rubriques dans de grands quotidiens anglais en 2005 pour que le développement du jeu et sa popularité deviennent comparables à ceux du Rubik's Cube dans les années 1980.

C'est en juin 2005 que le SuDoku a atteint la France et fait nombre d'heureux et de ... victimes, avec la publication de très nombreux livres à fort tirages.

La grille ci-après est donnée à titre d'exemple, avec en jaune et en bleu la détermination des positions des 2 et 3. Elle est extraite d'un des meilleurs sites francophone sur le sujet :

http://sudokupro.free.fr/index.htm 

Ludimath

Ou le plaisir de s'instruire en s'amusant et de jouer en apprenant

Quoi de plus pédagogique que l'apprentissage des Sciences ou des Lettres par le jeu ?
Venir à bout des énigmes, cultiver et maîtriser le paradoxe, décrypter les messages, enrichir ses raisonnements par la logique, comprendre algorithmes et arborescences : une didactique sans cesse renouvelée grâce à la créativité de chercheurs au sein d'organismes tels que les Instituts de Recherches sur l'Enseignement des Mathématiques ou de "ludologues" géniaux.

Tout problème est de nature à susciter des jeux permettant sa compréhension, son analyse, sa modélisation, sa résolution et sa généralisation. A contrario le plus simple comme le plus complexe des jeux peut se raccrocher à une théorie ou une méthode mathématique.

A titre d'exemples, la numération binaire permet de modéliser et de définir stratégies gagnantes ou optimisées pour le jeu de Nim, le baguenaudier ou la tour de Hanoi. La résolution des cubes hongrois s'explique par la théorie des groupes, la parité intervient dans le jeu de taquin et le principe de Diriclet dans de nombreux problèmes d'arrangement ou de choix !!!

But leaving those of the Body, I shall proceed to such Recreations as
adorn the Mind; of which those of the Mathematicks are inferior to none"

WILLIAM LEYBOURN : Pleasure with Profit (1694)

Le très grand nombre de thèmes amène à la nécessité d'une approche systématique de la bibliographie et de l'internaugraphie ayant trait au sujet

Jouez carré

Rappel : la constante d'un carré magique est la somme des nombres de chaque ligne colonne et diagonale. Lorsque le carré est constitué par les nombres consécutifs de 1 à n2 , cette constante est minimale et égale à n. Abdul Alafrez nous offre un bel exemple flash d'un carré doublement magique puisque produisant instantanément un carré magique d'ordre 4 dont la constante est égale à votre année de naissance exprimée par ses deux derniers chiffres !