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La pensée du jour :
L’étude des
mathématiques, en comprimant la sensibilité et l’imagination, rend
quelque fois l’explosion des passions terrible. Poursuivant les publications de recherches de ses
techniciens et correspondants, les CALIS publient ici quelques
spéculations sur le notion de « distance » dont chacun a
une idée naïve – ce qui ne saurait être péjoratif. Ce cahier n’est
destiné à des « mathématiciens » pour qui ces notions
sont triviales, mais visent à éclairer à l’aide de la Chandelle
Verte les peuples. Ces travaux ici publiés poursuivent en cela les études de Sa Sommité le Régent Lacaze sur les distances parues dans le numéro un des Organographes du Cymbalum Pataphysicum et étudiées dans le Calis n° 2 de Floréal, 194 Ere de la République. L’OuPeinPo de son côté a repris les distances parisiennes de Sa Sommité et a publié un plan de Paris tenant compte de cette métrique et redressé la Seine dont les circonvolutions pouvaient chagriner un esprit cartésien. Le premier articulet sera d’une tonalité à destination des
potache : ce pourrait bien être un extrait d’un quelconque
manuel scolaire définissant les distances. Quelques applications bien connues sur les codes et autres pour se familiariser avec les distances seront suivies de propositions d’anoulipisme i.e. d’outils pouvant possiblement donner lieu à des contraintes éventuellement productives. On terminera par le rappel des publications ( disponibles) des Calis avant la dernière de couverture. Monsieur l’Ingénieur-en-Chef de l’Amicale du Laboratoire d’Inventions
Scientifique(s)
Soit E un ensemble, on appelle distance d définie sur E toute
application d dans ExE dans telle que :
| Le corps des réelsˆ |
L’exemple le plus classique est l’ensemble
des réels pour lequel on définit la distance par :
d(x,y) = | x- y | (c’est l’écart entre les deux nombres) On
vérifie immédiatement que c’est bien une « distance » au
sens de la définition ci-dessus
C’est cette distance qui, classiquement, est sous jacente pour
développer les notions de limites, de convergence et d’une façon
générale ce qu’il convient d’appeler l’analyse.
On trouve d’autres « distances » possibles en particulier
sur les entiers avec les notions de distance p-adiques.
Le plan dit « euclidien » est un exemple canonique d’un
espace métrique. C’est la « distance à vol d’oiseau »
et plus exactement si on est dans un repère orthonormal, c’est la
distance euclidienne donnée par la formule :
d(A,B) = Ö ((xb-xa)²+(yb-ya)²) (dans un espace de dimension 2)
Dans cet espace, les notions d’orthogonalité et de distances sont
équivalentes et l’on passe de l’une à l’autre par la relation de
Pythagore :
(AB) ^ (AC) Û d(AB)² + d(AC)² = d(BC)²
Muni de cette distance le plan (si l’on reste en dimension 2 ) admet
la géométrie métrique classique ; on a en particulier les
notions de :
- géodésique ( ou plus court chemin) M est un point d’une
géodésique [A,B] si et seulement si d(AM) + d(MB) = d(AB) (Dans le
segment de droite joignant les deux points ) - cercle :
ensemble des points situés à distance fixe (le rayon ) d’un point
fixe (le centre) . (Dans le cas euclidien c’est bien le cercle que l’on
connaît) - disque : intérieur d’un cercle - milieu : le
milieu de A et B est l’ensemble des points C Î [AB] / d(AC) = d(CB) )
(Dans le cas euclidien c’est un point unique) - médiatrice : la
médiatrice de A,B est l’ensemble des points équidistants de A
et B) (Dans le cas euclidien c’est la droite perpendiculaire à AB
passant par le milieu de AB)
Ces différents objets de la géométrie métrique euclidienne sont bien
représentés par les objets physiques correspondants ( en clair
( ?) un cercle est bien un cercle)
Il n’y a aucune difficulté théorique et/ou pratique pour passer à
des espaces de dimension entière, finie – ou dénombrable - ,
supérieure à 2
Prenons l’ensemble O des octets (il y en a 256 différents) On peut
définir une distance entre deux octets par le nombre de bits
différents :
Par exemple si A = 0011 0011 et B = 1010 0011 alors d(AB) = 2 (les bits
1 et 4 sont différents)
C’est trivialement une distance dite de « Hamming »
Parmi les applications élémentaires possibles :
Si l’on considère que seuls les octets « pairs » ( i.e.
avec un nombre pair de 1) ont un sens alors la distance minimale entre
deux mots est 2 ; on peut dans ce cas détecter une erreur si on
trouve des mots à la distance 1 d’un mot accepté … (Ce sont les
codages avec un « bit de parité » ) . On peut aussi
imaginer des codes correcteurs d’erreurs , l’idée étant d’avoir
des mots dont la distance est au moins 3 , tout mot avec une seule
erreur – donc à une distance 1 d’un mot acceptable – peut être
corrigé et remplacé par le mot le plus proche.
On trouve dans la littérature moult développements de ces notions sur
les codages dans les manuels d’informatique et les livres scolaires
des lycées.
Soit G un graphe symétrique – ou non orienté - ; on appelle
distance de deux sommets A et B le nombre minimal d’arêtes pour
rejoindre A et B. S’ils ne sont pas connectés on peut poser que d est
infinie. Si le graphe est valué (ou si chaque arête a une longueur) ,
on peut poser alors que la distance entre deux sommets A et B est la
plus courte des longueurs des chemins reliant A à B. On notera qu’il
n’y a pas a priori de « plus court chemin » unique.
L’écolâtre répétiteur de semaine
Voyage à New York chez les Sharks & les Jets
Chacun connaît le plan idéal de New York, dite Big Apple, qui n’est
pas sans rappeler ceux de La Roche s/Yon et Rochefort sur mer. La voirie
est un réseau orthogonal d’avenues et de rues, numérotées E/O et
N/S .
Si donc on est à l’intersection de la 7° avenue et de la 12° rue et
que l’on veut se rendre à l’angle de le 9° avenue et de la 5°
rue, la longueur du trajet à accomplir est de 7 blocs ( on suppose ici
qu’il n’y a ni hélicoptère ni passe murailles type Spider Man).
Une position à NY se repère donc par 2 nombres (x,y) x représentant
le n° de l’avenue et y celui de la rue. Il est alors assez évident
que la distance de deux positions A et B est donnée par la
formule : d(A,B) = |xb-xa| + |yb-ya|
NY est donc un espace métrique.
A quoi ressemble un cercle ? Il suffit d’essayer naïvement. Soit
un point O dit centre et un rayon, par exemple 5 blocs. Il suffit de
reporter sur le plan les positions que l’on peut atteindre en 5 blocs
à partir de O et on trouve comme « cercle » un carré dont
les diagonales sont les axes, passant par O, et mesurant 10 blocs. Le
« disque » de rayon 5 est l’intérieur du carré.
Supposons que les Sharks ( Quartier Général S en (2,3)) et les Jets (
Q.G. J en (8,7)) se donnent rendez-vous en terrain neutre à mi-chemin
de leurs QG respectifs. Où se rencontrent-ils ? Là il y a une
distance totale de 10 blocs entre S et J donc le milieu est à 5 blocs
de S et J sur le plus court chemin… On constate qu’il n’y a pas un
plus court chemin mais que tout chemin qui se compose de 6 avenues vers
l’Est et 4 rues vers le Nord est un plus court chemin ou géodésique
. Les milieux à coordonnées entières sont donc les points repérés
par : (7,3) , (6,4) , (5,5) , (4,6) et (3,7 : il y en
5 ; on remarque qu’ils sont alignés sur une droite à 45°. Il
est fort possible que le rendez-vous soit raté.
Un centre social – c’est politiquement correct – veut se mettre à
même distance de S et J. Où doit il s’implanter ? On retrouve
la médiatrice. Dans ce exemple c’est la ligne formée par les milieux
à laquelle s’ajoutent les verticales 3° avenue au Nord de la 8° rue
et la 7° avenue au Sud de la 3° rue.
Cet espace New-Yorkais n’est pas isotrope, certaines directions
(celles des voies) sont privilégiées . Ce peut être un jeu que d’essayer
les propriétés de la géométrie classique (euclidienne) dans ce plan
– comme la recherche d’un cercle circonscrit à un triangle - et d’y
faire des figures : on constatera la puissance de créativité de
la mathématique et sa fécondité .
L’ethnologue-explorateur de service au Nouveau Monde
Quelques Quelques notes (inutiles) pour faire scientifique :
1- D’aucuns parleraient pour le n° de l’avenue de l’abscisse et
pour l’avenue de l’ordonnée.
2- Le nombre de chemins pour rejoindre S et J est dans cet exemple
C(10,4) soit 210 ; il y a 5 milieux entiers.
La généralisation est aisée : le nombre de chemins est C(|xb-xa|+
|yb-ya| , |xb-xa|) où C représente le coefficient binomial : le
nombre de milieux est inf(|xb-xa| , |yb-ya|)+1
3- Cette distance est un classique des manuels d’introduction à l’analyse.
Elle se généralise avec toutes ses propriétés dans des espaces de
dimension dénombrable.
4- Cette distance parfois est notée d1 : c’est un cas
particulier des distances dn définies dans un espace de dimension 2 par
dn(A,B) = ( |xb-xa|n + |yb-ya|n )1/n. Avec cette notation, la distance
« euclidienne » est simplement d2.
Lorsque n ® 8 alors d8 est sup(|xb-xa| , |yb-ya|), le
« cercle » dans cette distance est représenté par un
carré dont les côtés sont parallèles aux axes.
On démontre que ces distances dn sont équivalentes – ou comparables
- ; toute suite qui converge pour l’une d’entre elles converge
pour toutes et les topologies induites sont identiques. Ces notions
passent sans difficulté dans un espace de dimension n (où n est fini)
Le pédant ès cuistrerie de passage.
Une remarque :
« On » peut habiller différemment cette
« distance » New-yorkaise : Il suffit de considérer
les parcours d’une mouche se promenant sur un grillage de garde manger
après qu’on lui ait, avec soin arraché, les ailes et laissé les
pattes …
Un entomologiste (non membre de la SPA)
A AH ! LA S.N.C.F.
Chacun connaît le plan du réseau de la SNCF :
toutes les lignes partent d’un même point noté P (comme pole – ou
Paris-), les lignes « transversales » n’étant là que
pour consoler les provinciaux qui ne sont pas capables de goûter les
beautés du centralisme (démocratique ?) .
C’est un graphe en « étoile »
Alors quelles sont les distances pour ces messieurs de la SNCF ?
Premier cas : si A et B sont sur une même ligne (c.a.d. alignés
avec P) alors la distance de A et B est la distance « à vol d’oiseau »,
on suppose les voies rectilignes, Second cas : si A et B ne sont
pas sur la même ligne, la distance de A et B est AP + PB mesurées
elles aussi à vol d’oiseau.
A quoi ressemble un cercle SNCF ?
Il faut étudier plusieurs «éventualités :
- un cercle de centre P et de rayon R ressemble furieusement à un
cercle de centre P et de rayon R.
- un cercle de centre A ? P et de rayon R est: - si R = AP l’ensemble
des 2 points situés à une distance R du point A sur la ligne AP - si R
> AP alors on a un point sur AP éloigné d’une distance R de A
vers la province et un cercle de centre P et de rayon R-AP privé du
point sur la ligne AP (le disque ressemble lui à une poêle à frire)
Que dire du milieu ?
Le milieu de 2 points existe toujours et est unique comme on peut le
vérifier trivialement … (Si Roméo & Juliette se donnaient rendez
vous à mi chemin de leurs résidences, ils ne pourraient pas se rater
eux) Par contre, on peut vérifier que A B et A C peuvent avoir le même
milieu et que cependant A ? C : il suffit que B et C soient sur le
même cercle de centre P et non alignés avec AP (situation impossible
en géométrie euclidienne pour laquelle l’opération
« milieu » est « régulière »)
Et la médiatrice ?
Là encore plusieurs cas que nous laissons aux logisticiens de garde. On
trouve soit un point (le milieu) soit tout le plan privé des lignes PA
et PB (lorsque A et B sont équidistants de P).
L’Ingénieur en charge des voies ferrées et de la tarification de la
SNCF
De la distance, de l’écriture, de la contrainte
Cet essai de transposition de la notion de distance a été suggéré au
Laboratoire d’Inventions Scientifique(s) par un forum qui s’est tenu
sur la liste Oulipo et en particulier en réaction à un mail d’ EA°°°
envoyé le 4/12/98 v. à 16 :17 .
Après avoir visité quelques contrées exotiques où les distances
quoique parfaitement « normales » laissent des surprises, il
est temps d’arriver au cœur de cette livraison et de tâter le
terrain quand à l’utilisation éventuelle de la notion de distance
pour étudier des contraintes oulipiennes – ou autres .
Il s’agit, un peu comme au Master Mind, de trouver un mot connaissant sa « distance » à d’autres mots. On appelle ici « distance » de 2 mots de même longueur le nombre de lettres différentes qu’ils ont aux mêmes emplacements.
Exemple
| Mots | Distance |
| Arbre | 5 |
| Pause | 5 |
| Sauce | 4 |
| Chyle | 3 |
| Salto | 3 |
| Etape | 4 |
| ?????? |
Le jeu consiste à trouver le mot c’est à dire celui dont la distance
est nulle, STYLO est ici une réponse ; il est possible que ce ne
soit pas une solution unique ... (En fait, plutôt que la distance l’énoncé
donne en général le nombre de lettres exactes ; assez souvent l’énoncé
donne des mots tels qu’il y ait exactement une lettre correcte, ce qui
revient à chercher le centre d’un « cercle » de rayon 4
dont on connaît un certain nombre de points
Contrainte possible :
Donner un texte tel que les mots de 5 lettres de chaque phrase aient
tous la même distance (par exemple 4) d’un mot donné , la suite des
centres formant bien sûr à son tour le message ultime
On appelle chaîne de Carroll tout suite de mots différant d’une
lettre exactement ( soit de distance 1). Par exemple : TARTE –
CARTE – CARRE – BARRE – BAFRE – BAFFE – BIFFE – est une
telle chaîne. On peut alors chercher le « plus court
chemin » d’un mot à un autre : c’est une
géodésique : on appelle « distance » de deux mots la
longueur d’une chaîne minimale. Il n’y a pas a priori d’unicité
de la géodésique ni du milieu … est-ce que deux mots peuvent ne pas
être connectés ? auquel cas il faudrait poser que leur distance
est infinie (ce qui mathématiquement n’est plus exactement une
distance mais un « écart » )
Contrainte possible :
Ecrire un texte dont les premiers mots de chaque phrase – ou
paragraphe - forment une chaîne de Carroll , la lettre modifiée n’apparaissant
pas dans la phrase en question
Soit donc un dictionnaire des synonymes. On peut prendre, par facilité,
l’outil synonyme de Words 97 de Monsieur Bill Gates.
Plusieurs questions se posent d’emblée :
- Est-il connecté ? en clair peut-on toujours relier deux mots du
dictionnaire par une chaîne de synonymes ?
-Si non (ce qui est peu probable) comment le vocabulaire se réparti
entre des ensembles sans points communs ? Y aurait-il à l’intérieur
du vocabulaire plusieurs langages indépendants ? En fait s’il y
a apparemment des catégories étanches : noms, verbes, adjectifs
et alii, on peut toujours trouver des passerelles comme
« dîner » qui relie les verbes aux noms
- On peut appeler « distance » entre deux mots la longueur
minimale de la chaîne qui rejoint les deux mots. (Si deux mots ne sont
pas connectés, alors on peut dire que leur distance est infinie) On a
bien une distance au sens mathématique du terme si on ajoute la
« symétrie » à savoir que si par exemple le mot
« contrainte » est lié au mot « captivité »
alors on considère réciproquement que le mot
« captivité » est lié à « contrainte » et
donc que leur distance mutuelle est égale à 1
-Le « diamètre » du vocabulaire est la plus grande distance
entre deux mots. Quel est le diamètre de notre vocabulaire ?
Il est clair que la distance et toutes les notions numériques ainsi
introduites dépendent du dictionnaire choisi : plus il est riche
plus les distances sont petites.
Muni ainsi de la notion de distance, on peut imaginer bien des
contraintes :
par exemple :
- un texte dont les mots sont pris sur un cercle (ensemble des mots situés à même distance du mot choisi comme « centre »
- Une « boule » est l’ensemble des mots dont la distance au centre est inférieure ou égale au rayon. On peut produire un texte dont les mots sont dans une boule.
- Si on appelle « médiatrice » les mots situés à même distance de deux mots, on peut chercher à réaliser un texte dont les mots appartiennent à une médiatrice.
- Ecrire un texte qui contienne une chaîne de synonymes (par exemple un mot par phrase) pour voir dériver le sens un peu comme au jeu du téléphone arabe ; comme par exemple avec des phrases contenant successivement :
- Contrainte - Factice - Parodié - Ridiculisé - Outragé - Violé etc… (cette chaîne est obtenue avec le dictionnaire des synonymes de Microsoft de Word 97)
- On trouve à une distance de 1 de contrainte pris comme adjectif dans ce dico : Outrée - Affectée - Embarrassée - Artificielle - Fausse(r) - Factice
- Puis à partir de Outrée : Outrancière - Excessive - Abusive - Exagérée - Démesurée - Extrême ; reste à faire la même expansion à partir de « affectée », « embarrassée » et les autres pour avoir les mots à une distance de deux de contrainte.
Il est possible que des études puissent être faites dans ces
directions avec l’outil informatique qui , quand on sait l’utiliser,
peut permettre des explorations exhaustives.
Chacun peut imaginer d’éventuelles prolongements à ce qui n’est qu’une
piste encore peu formalisée. Cette idée n’est hélas pas très
originale : on peut remarquer que le « procédé » de
Raymond Roussel relève de cette stratégie : trouver un chemin des
« bandes du vieux pillard » aux « bandes du vieux
billard » par des transitions dans la continuité analogues à la
recherche de synonymes et que le Transcendant Satrape Raymond Queneau,
dans le n° 3 de la bibliothèque Oulipienne à lui aussi transposé des
notions mathématiques (les fondements de la géométrie de David
Hilbert) vers la littérature.
On saura enfin si AMOUR RIME AVEC TOUJOURS, si IL Y A LOIN DE L’AMOUR
A LA HAINE (va je te hais point…) & QUELLE EST LA DISTANCE DE LA
COUPE AUX LEVRES (texte qui pourrait partiellement aéré).
Monsieur l’Ingénieur en charge des lectures oulipiennes
LISTE DES PUBLICATIONS DE L’AMICALE DU LABORATOIRE D’INVENTIONS
SCIENTIFIQUES
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Ce Cahier de l'Amicale Il
a été réalisé dans le Laboratoire d’Inventions
Scientifique(s)
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Toute
correspondance est à adresser à |
