LABORATOIRE D'INVENTIONS SCIENTIFIQUE(S)

Cahier n° 27
Editorial de Monsieur l'Ingénieur-en-Chef
Naissance de la mathématique : premières rencontres avec l'infini
Perspective et géométries : quand les bornes sont franchies il n'y a plus de limites.
Vers une axiomatisation de l'infini : Cantor ; et après ?
Fractales et autres objets : il y du monde dans la ménagerie
L'analyse non-standard : une tentative pour rassurer Monsieur Pascal.
Conclusion , provisoire
Repères: du haut de l'infini 25 siècles nous contemplent.
Bibliographie

La pensée du jour : Quelqu'un va-t-il prendre enfin la défense de l'infini ? ( Aragon, alors qu'il était encore libre et pas encore, telle Moscou, gâteux)

EDITORIAL DE MONSIEUR L'INGENIEUR-EN-CHEF

Voici une étude du Laboratoire d’Inventions Scientifique(s) qui n’a pas la  tonalité habituelle des autres travaux publiés dans les cahiers. En effet la science et la Science sont multiples et il ne faudrait pas négliger les sciences vulgaires qui peuvent apporter quelques surprises et pourquoi pas ne pas se rapprocher de la Science. Le thème de l’infini est à l’évidence de ceux là qui peuvent, traités sur le mode vulgaire,  donner des aperçus vers la Science. 

Les travaux du Docteur Faustroll, Curateur Inamovible du Collège de ‘Pataphysique, qui dans le chapitre XLI « De la surface de Dieu » donne dans le calcul dimensionnel, anticipant les dimensions fractales, et démontre alors, dans un calcul de haute tenue,  que DIEU EST LE POINT TANGENT DE ZERO ET DE L’INFINI. et du Transcendant Satrape Bison Ravi, qui a plus tard complété ces calculs dans une brochure du Collège : « Mémoire concernant le calcul numérique de Dieu par des méthodes simples et fausses»[1] nous ouvrent la voie vers l’étude de la mathématique et de la logistique – science des calculs -..

La notion d’infini est l’une des plus féconde en mathématique et cependant elle reste souvent l’une des plus confuse. Il n’existerait pas de mathématique(s) au sens où nous l’entendons s’il n’y avait, partout, sous-jacent, cette idée d’infini – au moins potentiel.

On a tôt rencontré le problème de la différence essentielle qu’il y a entre un « très grand nombre » comme par exemple 10  à la puissance 1000 dont nous n’avons aucune image physique – ni mentale - correspondante  et l’infini.  Archimède dans son traité L’Arénaire se propose d’écrire les nombres les plus grands concevables à partir de myriades (et de myriades de myriades ad lib.) mais n’arrive pas à l’infini. Les Indiens de leur côté ont nommé des nombres tels dhvajagranishamani qui désigne 10 à la puissance 145 ; il s’agit souvent de retrouver la durée d’un grand cycle que sous tend le mythe de l’éternel retour cher à René Guénon. C’est un nombre gigantesque certes mais on est toujours aussi loin  de l’infini !

Chacun sait, depuis qu’il compte sur ses doigts, que l’ensemble des entiers n’est pas limité : il n’y a pas de « plus grand entier » , pour autant peut-on parler de l’ensemble † des nombres entiers ? Que pourrait signifier un ensemble ayant un nombre non fini d’éléments ? Est-il infini ? Qu’est ce que cela voudrait dire ? S’il y a dans le monde des ensembles infinis doit-on en conclure que le monde est lui même infini ?

Galilée a remarqué qu’il y avait autant de carrés que de nombres (entiers) puisque chaque entier a un et un  seul carré et réciproquement tout carré d’entier ne provient que d’un entier (positif) alors que d’évidence il y a plus d’entiers que de carrés … qu’est ce que ce « autant » ou ce « plus » là veulent dire ? 

A-t-on réellement une conception de l’infini qui dépasserait une démarche nécessairement inappropriée ? Ce n’est pas parce que l’on utilise un objet – ici l’infini – que l’on en a un concept cohérent. Peut-on réellement maîtriser d’une façon ou d’une autre un calcul une démarche ou un ensemble qui contient de l’infini ?

Si on admet l’infini, y a-t-il des infinis plus grands que d’autres ? Comment manipuler ce symbole «  ¥  » en admettant qu’il recouvre quelque réalité ? C’est Cantor qui au milieu du XIX° a donné les premières  réponses à ces questions considérées avant lui comme non pertinentes car relevant de la « métaphysique ».

On a vu bien des paradoxes provenant des calculs non finis comme

 Ces paradoxes ont obligé à reprendre les définitions de la convergence des séries et tous les théorèmes sur les limites.

En géométrie, on dit parfois que deux droites parallèles sont des droites qui se coupent à l’infini. Est-ce à dire qu’il y a un infini dans le plan ? Où est-il ? Desargues a posé les fondements d’une géométrie – la géométrie projective – qui veut donner un sens à, ou à tout le moins une image de, cette intersection à l’infini et en tirer une méthode pour faire des démonstrations dans le cadre de la géométrie classique euclidienne.

Inversement si l’on peut dire, qu’est ce  qu’une quantité infinitésimale ? C’est là toute la problématique des limites qui questionnent les mathématiques depuis leur début. Une quantité infinitésimale n’est pas nulle par hypothèse mais cependant plus petite que toute quantité assignée, alors à quoi correspond cet epsilon « e » si souvent utilisé en analyse ? C’est le défi relevé par Newton avec ses « quantités évanescentes » et Leibniz avec ses « différentielles » à la fin du XVII° siècle lorsqu’ils ont posé les bases du calcul différentiel et intégral. La mise au point progressive de la notion de limite et les fondements des calculs différentiel et intégral au long des XVII° au XIX° siècles a représenté l’essentiel du travail des mathématiciens.

La mathématique n’est pas censée représenter le réel : elle crée des modèles qui eux imitent le réel ou à tout le moins « fonctionnent » comme  on imagine que fonctionne le réel si tant est que le « réel » existe vraiment. Alors les diverses théories et modèles mathématiques doivent bien intégrer l’infini que l’on rencontre dans notre imaginaire du monde réel. 

On rencontre l’infini dans notre vision du réel que ce soit dans la liste des entiers, des nombres premiers, dans le nombre de points qu’il y a dans une droite – ou dans un segment. Une détermination naïve de l’infini a été « une quantité telle que aucune ne pouvait la dépasser », ce qui revient à dire que l’infini est la borne supérieure des nombres ( ou des « quantités »)… Cette vision trop simpliste ne rend pas compte des ordres de l’infini : il faut bien que le modèle mathématique puisse intégrer le  fait qu’ils y a des infinis de divers ordres de grandeur.

Et aujourd’hui, a-t-on complètement explicité cet infini que nous utilisons couramment en mathématique ? Pourquoi certains mathématiciens – les constructivistes entres autres - refusent l’infini actuel ? alors que d’autres essayent – comme Robinson avec l’analyse non-standard - d’éliminer les appels à l’infini en analyse . Certains objets mathématiques récents font explicitement appel à l’infini : ce sont les fractales de Mandelbrot découvertes dans les années 1950 prolongeant le flocon de Von Koch et mises à toutes les sauces depuis qu’elles ont rencontré le chaos qui les a étrangement attirées: que peut on dire de ces objets ?

Voilà quelques pistes à suivre pour mener une enquête sur l’infini … 
___________________
[1] Collège An 105 E.P.

Monsieur l’Ingénieur-en-Chef des CALIS


NAISSANCE DE LA MATHEMATIQUE : PREMIERES RENCONTRE AVEC L'INFINI

Depuis la plus haute antiquité, l’homme – et donc l’auvergnat - a fait des activités que l’on peut qualifier de pré-mathématiques. Ce sont des calculs comme les quatre opérations, de la géométrie (à l’origine : « mesure de la terre ») mesures de surfaces et de volumes, de l’astronomie ou de l’astrologie, la différence à ces époques n’est pas pertinente et des études de numérologie menées à des fins essentiellement religieuses.

Pourtant cela n’est pas encore de la mathématique au sens de Monsieur Bourbaki . Ils avaient obtenu des résultats certes assez techniques mais aucun raisonnement organisé , les mathématiciens avant les grecs n’éprouvaient pas le besoin de démontrer les résultats ni de théoriser leurs recherches : ils indiquaient les démarches pour parvenir aux résultats qui justifiaient a posteriori la démarche relevant surtout du constat et aucun paradoxe n’avait été soulevé … d’ailleurs dans un tel contexte aucun paradoxe ne pouvait apparaître.

C’est la rencontre des ces pratiques pré-mathématiques avec l’infini qui a crée un choc et obligé les philosophes à reprendre le corpus mathématique pour en comprendre et expliciter les présupposés et justifier des démarches jusque là empiriques, en bref c’est la naissance des mathématiques telles que nous entendons ce terme aujourd’hui.

Parmi toutes les écoles philosophiques qui se développent au début 5° siècle, il faut citer l’école pythagoricienne en Grande Grèce qui a eu une grande influence sur la pensée grecque. Alors que la plus part des mathématiciens grecs s’intéressaient essentiellement à la géométrie, l’école pythagoricienne a étudié les nombres en tant que tels. Pour ces chercheurs, « tout est nombre » et les nombres représentent l’univers (Kosmos) et sont des divinités ; étudier les propriétés des nombres, faire de l’arithmétique, c’est approcher le divin d’où l’aspect souvent ésotérique de la secte pythagoricienne. Dans leur esprit nombre désigne « nombre entier » supérieur à un (qui n’est pas un nombre mais l’unité) et par conséquent toute mesure - si c’est un nombre - devait avoir une partie « aliquote » avec une unité – en clair tout segment devait avoir une mesure rationnelle - ce qui revient à dire que toute mesure était par essence un quotient d’entiers et l’on devait pouvoir compter par exemple les points d’un segment (quoique ce nombre soit trop grand pour être exprimé).

Il est possible que Ö2 ne soit pas le premier objet irrationnel trouvé. Dans la recherche des parties aliquotes, les Grecs avaient l’algorithme de l’anthyphérèse : du plus grand on retire le plus petit et ce jusqu’à avoir deux quantités égales : c’est pour les nombres le PGCD et pour les mesures l’unité ou plus grande partie aliquote qui « mesure » les deux grandeurs. ( dire que A mesure B c’est dire qu’il  existe un nombre (entier) n tel que B = n.A)

Une définition du nombre d’or, noté f, est la suivante : soit un rectangle, si on retire un carré du rectangle on obtient un rectangle de même proportion : quelles sont ces proportions ? On est amené à résoudre une équation du genre : x :1 : : 1 : x-1 soit , en notation moderne, x/1 = 1/(x-1) d’où l’équation x²‑x-1= 0 dont la racine (positive) est précisément f  ( (1+Ö5)/2 @ 1.618033989..); d’après la définition même il est clair que l’anthyphérèse ne s’arrêtera jamais, le rapport restant constant.  On notera qu’il n’est pas besoin de pouvoir exprimer numériquement ce rapport pour reconnaître son irrationalité. Ce « nombre d’or » a été particulièrement étudié par les pythagoriciens qui voyaient en lui quelque chose de magique. C’est le nombre que l’on trouve dans le « pantagramme mystique » présent dans certains écrits kabbalistiques ; c’est aussi la « divine proportion ».

C’est cependant la découverte de l’irrationalité de racine de deux qui a profondément choqué les pythagoriciens car elle a été démontrée par des procédés numériques donc, à leur sens, plus intrinsèques, ceux qui font appel à la nature même du nombre et non par à un artifice pratique. La démonstration est bien connue, elle a été reprise dans le Menon de Platon comme illustration des thèses de la réminiscence et de la maïeutique .

On notera au passage que cette démonstration est explicitement basée sur des notions de parité donc sur la pratique opératoire héritée des égyptiens et l’irrationalité d’autres nombres comme Ö17 est venue bien après.

Et  c’est tout l’édifice qui s’écroule avec la diagonale du carré. C’est la fin de l’école : c’est l’intrusion du non fini, de l’ apeiron dans les mathématiques … et ça les Grecs l’ont en horreur. Cette chose Ö2  a été rejetée en tant que nombre mais il a bien fallu l’accepter en tant que rapport de mesures.

Le mythe souligne que celui qui a dévoilé cette irrationalité a péri noyé..

L’école d’Elée avec Zénon a également  levé un lièvre :

            Notre collègue Paul Valéry a repris cette problématique dans un poème :

« Zénon ! Cruel Zénon ! Zénon d’Elée !
« M’as tu percé de cette flèche ailée
« Qui vibre, vole et qui ne vole pas !
« Le son m’enfante et la flèche me tue ! […]
« Ah ! le soleil… Quelle ombre de tortue
« Pour l’âme, Achille immobile à grands pas ! »

In « Le Cimetière Marin » 1920

effectivement, à la limite, Achille est « immobile » puisqu’il parcourt un espace qui tend vers zéro ; la flèche est une autre aporie de Zénon qui prouverait l’impossibilité du mouvement (avant de toucher son but la flèche doit avoir parcouru la moitié du chemin et avant d’avoir fait la moitié le quart …ad. lib.)

Les Grecs admettaient assez bien la notion d’infini potentiel ou d’indéfini mais pas celle d’infini actuel. Ils savaient d’après Eratosthène que, par exemple, l’ensemble des nombres premiers était non fini (il suffit de poser « soit n le plus grand nombre premier » alors n ! +1 = 1.2.3.4….n +1 n’a pas de diviseur £ n d’où la contradiction) mais pour autant ils se seraient interdit de considérer l’ensemble des nombres premiers comme une totalité bien définie. Dire qu’il n’y a pas de partie aliquote entre la diagonale du carré et son coté cela revient à dire qu’il n’y a pas non plus un nombre donné de points sur un segment mais alors de quoi est fait un segment ?

Si « tout est nombre » qu’est-ce qu’un rapport irrationnel ? Ce n’est pas un « nombre » au sens de dénombrant. C’est là la crise des irrationnelles : il  existerait des rapports de grandeurs (de même nature) non rationnels : quelle est alors leur nature ? Et au passage quel est le rapport entre la mesure d’une ligne et d’une surface ? d’une surface et d’un solide ? Si on ajoute une ligne à une surface celle-ci n’augmente pas doit-on en conclure qu’une ligne a une mesure nulle ? C’est là que se fait, pour longtemps, la séparation entre « nombre » et « mesure ». Puisque les nombres ne sont pas capables d’exprimer des mesures c’est que l’approche du monde par le nombre n’est pas la bonne voie. Les recherches purement numériques ont continué mais ont versé dans la numérologie et autres recherches ésotériques et n’ont pas eu vocation à représenter la nature. Il a fallu attendre les mathématiques arabes et l’algèbre puis Descartes qui a donné une interprétation géométrique du nombre pour que le nombre soit réintégré dans le champ de la mathématique et Galilée pour que la mathématique soit l’outil d’investigation en physique.

Se posent alors les questions sur les opérations à faire sur ces mesures (par analogie avec les opérations sur les nombres). Si une « surface » est formée de « lignes » , alors quel est le sens d’ajouter une « ligne » à une « surface » ? La ligne peut ne pas avoir une mesure nulle, et cependant ajouter une ligne à une surface ne modifie pas la mesure de la surface … C’est là la premier paradoxe de l’infini : «  ¥ + 1 = ¥ » Bien sûr cette égalité n’a pas été écrite, ni pensée ainsi par les grecs mais ils ont bien vu le problème : il y a des objets dont les ordres de grandeur ne sont pas comparables. Euclide a posé un axiome ( dit d’Archimède car il l’a beaucoup utilisé) qui homogénéise l’ensemble des grandeurs (nombres et/ou mesures). (On notera que l’analyse non-standard repart de cette problématique pour donner une définition axiomatique des nombres, « petits », « appréciables » ou « grands » et proposer un nouveau fondement à l’analyse (cf infra)).

C’est cette problématique que cite Cavalieri dans le « Traité de la sommation des puissances numériques »  : 

« Ainsi les points n’ajoutent rien aux lignes, les lignes aux surfaces, les surfaces aux solides ; ou – pour parler en nombres comme il sied dans un traité d’arithmétique – les racines ne comptent pas par rapport aux carrés, les carrés par rapport aux cubes et les cubes par rapport aux carro-carrés. En sorte qu’on doit considérer comme nulles les quantités d’ordre inférieur »

On notera que Cavalieri va jusqu’au 4° degré alors qu’il n’a pas d’image géométrique correspondante. C’est le résultat bien connu de nos chères têtes blondes – et autres - : un polynôme se comporte, lorsque la variable tend vers l’infini, comme son monôme de plus haut degré…

Dans le même ordre d’idées on s’est posé à nouveau la question de l’« angle corniculaire », angle  que fait une courbe avec sa tangente. Proclus avait déjà au V° siècle envisagé cet « angle », mais est-ce un angle ? Comment le mesurer ? Il est nul par rapport à l’angle de deux droites, mais pourtant on est bien tenté de penser que l’angle d’un cercle avec sa tangente est, en un certain sens, inversement proportionnel au rayon …: nous débouchons ici sur une impasse. Ces angles seront réétudiés par les créateurs du calcul différentiel sans pouvoir apporter d’autre réponse que l’angle corniculaire n’existe pas (il ne serait pas invariant par une similitude ce qui, pour un angle, est rédhibitoire), seul a un sens la notion de « rayon de courbure » , rayon du cercle osculateur à une courbe.

Quant à  l’infini, Aristote est assez clair : il admet la notion d’infini potentiel à usage mathématique , infini potentiel qui est plutôt de l’indéfini – apeiron – ou illimité. On peut par exemple prolonger une droite[1] ou telle ou telle collection comme les nombres premiers (cf les travaux d’Erastosthène avec son crible pour pécher les nombres premiers)  mais en aucun cas cela ne justifie un infini actuel . Le Cosmos, ou univers, lui est fini. Il est enfermé dans la « sphère des fixes » sur laquelle sont accrochées les étoiles, que le modèle du monde soit géocentrique ou héliocentrique.

Le technicien expert en maïeutique & autres méthodes.


DU MONDE, DE LA GEOMETRIE AU DEBUT DES "TEMPS MODERNES"

Selon Ibicrate, le géomètre, élève de Sophratos, les philosophes grecs ont toujours fait clairement le distinguo entre l’infini potentiel – accepté par Aristote essentiellement à l’usage des mathématiciens, l’apeiron - plus exactement traduit par « l’illimité » et l’infini  actuel par exemple l’ensemble des entiers † en tant que totalité achevée qu’il refuse de considérer.

Au cours de moyen âge , l’infini  devient un attribut positif puisque attribut de Dieu (et de lui seul) : on admet l’infini actuel mais uniquement dans le cadre théologique. 

Les questions sur l’infini sont récurrentes dans tous les textes mathématiques du XIV° siècle sans apporter de réponse autre que calquée sur Aristote.  On trouve dès le milieu du XIII° des travaux comme ceux de Bernard Grossetête qui envisage qu’il y ait des « infinis » inégaux entre eux mais les relations comme « égale », « plus grand » ne peuvent s’appliquer à l’infini car elles sont contradictoires si l’infini est comme un nombre : on a pu remarquer que, par exemple, 2 x ¥  = ¥ . 

Le cardinal Nicolas de Cues dans son traité de 1440 « La docte Ignorance » - basé sur la coïncidence des opposés - remarque que le cercle « infini » dont la courbure devient nulle coïncide avec une droite (et note alors que symétriquement la surface du cercle tend vers la surface de la droite c’est à dire zéro…) : dans sa géométrie, cercles  et droites sont de même nature puisque l’on passe continûment de l’une à l’autre.

Au quattrocento les peintres de la renaissance découvrent la perspective, qui préfigure une certaine infinitude de l’espace - mais implicitement - , en usent et en abusent. L’architecte florentin F Brunelleschi (1377-1446) semble avoir été le premier à poser les règles de la perspective : le tableau est comme une fenêtre ouverte sur le monde réel et est la trace de ce monde par une projection centrale autour du « point de vue », la ligne d’horizon est la ligne vers laquelle convergent les parallèles. Dürer en 1525 a rédigé un traité de la perspective mais là encore pas de mathématisation.

Avec Nicolas  De Cues,  en physique, pour la première fois le monde devient illimité . Nicolas Copernic qui posait l’héliocentrisme comme modèle adéquat pour décrire les orbes des planètes – ce qui ne voulait pas dire que en « réalité » le soleil était fixe – mais que la description était plus simple et permettait de faire des calculs prédictifs mieux qu’avec le modèle géocentrique ( on n’est jamais trop prudent) pensait le monde fini avec une enveloppe extérieure qui était la sphère des fixes. Ce sont toutes ces spéculations qui ont influencé  Giordano Bruno, né en 1548 près de Naples, qui lui voit dans le monde un ensemble infini, actuel, sans « centre » que beaucoup plus tard Fontenelle célébrera dans son « Entretien sur la pluralité des mondes ». Bruno est mort brûlé le 17/02/1600 sous l’accusation de « hérétique, impénitent, opiniâtre & obstiné ». Bruno  a eu son succès d’estime au milieu du 19° avec les positivistes pour lesquels il représentait l’archétype de la victime de l’obscurantisme de la fin du moyen âge et de l’inquisition..

Depuis Euclide en géométrie, en dehors des intuitions de Nicolas de Cues, il n’y a pas à strictement parler de notion d’infini. Les « demandes » comme prolonger une droite ne débouchent au mieux que sur un infini potentiel, mais pas sur un infini actuel : une droite est, pour Euclide, un segment de droite ( d’où sa demande, alors que de nos jours on définit la droite dès les petites classes comme un ensemble illimité (est-ce à dire infini ?) ) et le postulat n° 5 dit des parallèles ne s’appuie pas sur une idée d’infini mais simplement sur la possibilité de prolongement à volonté.

Girard Desargues (1591-1661) , architecte français, a créé une théorie mathématique permettant d’étudier la perspective : c’est la géométrie projective exposée dans son traité « Brouillon project d’une atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan » publié en 1639 à cinquante exemplaires. Cette œuvre est difficile à déchiffrer car rédigée dans un langage peu mathématique et assez touffue. C’est en fait une glose du « Traité des coniques d’Apollonius » rédigé dans un esprit novateur qui se propose d’unifier les différentes coniques (intersections d’un cône et d’un plan) , et qui surtout pose explicitement l’existence de la « droite de l’infini » droite sur laquelle se coupent deux droites parallèles. Desargues lance beaucoup de pistes de recherches dont la « dualité » qui fait s’échanger des points avec des droites et  la notion de points alignés avec celle de droites concourantes. Desargues influencera Pascal pour son « Traité des Coniques » et tous les géomètres qui suivront.

C’est là l’intrusion de l’infini dans du fini et d’une certaine banalisation de l’infini : la « droite de l’infini » est une droite parmi d’autres même si elle a un rôle particulier. Il y a – pour la première fois - un sens à considérer des rapports dont les termes peuvent ne pas être finis : il définit le birapport de quatre points (A,B,C,D) = CA/CB : DA/ DB  et démontre que ce birapport est invariant par toute transformation « projective » ; Dans le cas de la division harmonique ce birapport vaut –1. Il établit alors que si le point C est au milieu de AB alors le point D est à rejeté à l’infini.

Cette géométrie utilise fortement les notions d’infini mais ne donne pas statut existentiel pour autant à cette notion. Elle est considérée comme une présentation et non pas comme une description adéquate du Monde qui reste bien sûr euclidien. On pourrait dire qu’elle formalise une description : la perspective, qu’elle est une description de la description et donc n’a pas la prétention de représenter le Monde.[1]

VERS UNE RATIONALISATION DE L'INFINI : CANTOR

Tout au long des XVII° & XVIII° siècles, les mathématiques ont fait de rapides progrès grâce notamment à l’invention du calcul infinitésimal , dérivées et intégrales par Newton et Leibniz en particulier. On utilisait alors l’infini sans trop de précautions mais comme les applications se sont révélées très nombreuses et semblaient donner des résultats exacts, le succès justifiait, a posteriori, les méthodes utilisées.

Au début du XIX°, les mathématiciens comme Gauss , Cauchy et autres ont posé les bases des calculs où intervenait l’infini essentiellement dans les notions de limites de suites, séries ou fonctions. En définissant la notion de convergence  de façon plus rigoureuse ils ont éliminé les paradoxes les plus criants sans pour autant avoir donné un statut à l’infini.

Reprenant les résultats de Galilée, dans la première moitié du XIX°, Bolzano remarque que le segment [ 0 , 2 ] est « plus grand » que le segment [ 0 , 1] et que cependant il y a une bijection entre ces deux segments ce qui signifierait qu’ils sont « aussi grands l’un que l’autre » . Euclide dans ses notions communes pose en demande: « Le tout est plus grand que la partie » . On voit sur cet exemple que la notion de « … plus grand que … » a besoin d’être explicitée ou alors qu’il faut abandonner cette demande. Mais que mesure-t-on la « longueur » d’un segment ou bien sa cardinalité (i.e le nombre de « points » du segment) ? Dedekind, mathématicien allemand, a donné le premier une définition précise d’un ensemble infini : c’est un ensemble E tel qu’il y ait une bijection de E sur une de ses parties propres.

Au milieu du XIX°  Georg Cantor se pose la question de la « puissance de l’infini » : on définit la « puissance d’un ensemble » par son nombre cardinal. S’il est fini aucun problème : son cardinal est le nombre d’éléments de cet ensemble et c’est un élément de † . S’il est non fini, on pose alors une relation d’équivalence : deux ensembles sont équipotents si et seulement si on peut établir une bijection entre eux .

Et ˆ a combien d’éléments ?

            Alors combien de points dans un carré de côté 1 ?

Cantor a ouvert une certaine boite de Pandore car dès lors qu’il y a un infini, il y a des infinis de toutes puissances, des ordinaux trans-finis & autres objets étranges …

Cantor est mort fou.

Le stagiaire perdu dans les méandres du trans-fini


DES FRACTALES ET AUTRES ANIMAUX DE LA MENAGERIE MATHEMATIQUE

Cantor avait, pour illustrer ses rêveries fabriqué des ensembles plutôt étranges : l’un des premiers qu’il ait « construit » est l’ensemble triadique.

Comme l’accorte laitière, avec ses tresses blondes, la gorge pigeonnante sous son tablier en vichy  et son petit panier d’osier brandissant joyeusement une boîte de camembert , dessinée sur les boites de ce même camembert qui se voit ainsi en abyme sur l’étiquette, et, en plongeant dans son décolleté,  on se demande bien jusqu’où les images s’emboîtent.

Peut-on parler de l’existence de cet objet qui n’est défini que comme une limite, un processus sans fin ?

Voilà un exemple simple donné par Mandelbrot vers 1950 d’un « objet fractal ». Et il y en a bien d’autres : un réseau hydrographique, - ou le système sanguin en sont d’autres exemples canoniques.

Tous ces objets ont en commun d’avoir une « homothétie interne »[1] : Si on en fait un agrandissement, comme un zoom, on retrouve la même image, la même laitière.

C’est le flocon de neige, construit par Von Koch ( 1870-1924),  en 1904 qui représente l’exemple  le plus connu des fractales.

Il est défini par récurrence : on pose F0 = un triangle équilatéral, puis on remplace chaque coté par une ligne brisée  formée de 4 segments de longueur un tiers du côté initial, les deux extrêmes sur le côté et les deux segments centraux formant deux côtés d’un triangle équilatéral à l’extérieur de la figure. On obtient alors F1, polygone étoilé de 12 côtés, puis on recommence la construction pour arriver  à F2 formé de 36 côtés (de longueur 1/3 de des côtés de F1) et on réitère cette construction …

On appelle « flocon de neige » la figure limite quand le nombre d’itérations n ® ¥ 

Il est clair que les périmètres des flocons Fn sont en croissance géométrique de raison 4/3 donc le périmètre de F n’a pas de limite finie. Par contre la surface intérieure au flocon est à l’évidence finie (la flocon est inscriptible dans un cercle de rayon 1).

Quelle est la nature de cette ligne ? sa longueur est non finie, elle est fermée et ne se recoupe pas ce n’est pas une surface alors quoi ? 

Jusqu’au début du XX° siècle, les objets géométriques classiques avaient une dimension évidente et entière : une ligne est de dimension 1 , une surface de dimension 2, un volume de dimension 3 (et on imaginait, depuis le XVIII°, des dimensions supérieures mais toujours entières).

Suivant l’usage des grecs, il n’est pas question de mêler ces diverses dimensions (ce qu’interdit précisément l’axiome d’Archimède). Il est clair que si, par exemple, je multiplie par k les dimensions (linéaires) d’une surface, celle ci est multipliée par k² , car 2 est la dimension d’une surface et le volume d’un solide sera multiplié par k³.

La dimension de Hausdorff d’un objet est définie par :

« Soit M la mesure d’un objet, on multiplie ses dimensions (linéaire) par k, la mesure de l’objet est alors M.k^p ; par définition p est la dimension  de l’objet » . 

En 1950, Benoît Mandelbrot, ingénieur chez IBM a repris cette définition et l’a étendue aux valeurs non nécessairement entières de p.

dans la pratique la dimension fractale – ou non – s’obtient par :

d=(logarithme coefficient de la mesure)/(logarithme coefficient linéaire)

Par définition, on appelle « objet fractal » un objet dont la dimension n’est pas entière. Ce sont les côtes , un réseau hydrographique, l’ensemble triadique de Cantor, le flocon de Von Koch et bien d’autres objets .       

On notera que si un objet a une dimension fractale strictement comprise entre 2 et 3 par exemple, son aire est non finie mais son volume est nul (c’est « plus » qu’une surface mais « moins » qu’un solide).

L’Ingénieur en charge du relevé topographique des côtes.

ANALYSE NON STANDARD  

Fidèles à Guy Debord, voyons d’abord quelques situations en vrac :             

En effet, comment comparer le ciron, l’homme et Dieu ?

Ces trois propositions de la « vie courante » semblent bien vraies et cependant à y regarder d’un peu plus près qu’en est-il alors du « principe de récurrence » ? est-il si évident que cela en fin de compte et vrai en un certain sens ?

Non , mais  en continuant ?

Oui mais  alors où est la « frontière » ? On retrouve la problématique du tas de sable : à partir de quel moment des grains de sable forment-ils un tas de sable ?

Oui  mais …

Beaucoup moins beaucoup = ?                        Moyennement moins  Moyennement = ?
Beaucoup fois un peu = ?                               Beaucoup divisé par beaucoup = ?

S’il n’y avait que trois « nombres » la mathématique serait finalement plus simple mais un tantinet ambiguë

Voilà quelques unes des situations auxquelles l’analyse non-standard donne un commencement de réponse.  

Crée en 1960 par Abraham Robinson (Non standard-analysis) et reprise par Nelson [4], l’analyse non-standard se propose d’élucider ou à tout le moins de faire rentrer dans la champ de la mathématique la notion de « grand », « petit » et « appréciable » avec des règles compatibles avec l’intuition que l’on peut avoir de ces notions.

On ajoute aux mathématiques classiques un nouveau qualificatif : « standard ». Tout objet des mathématiques classiques (objets « internes ») est soit standard (s) soit non-standard (ns). Il existe des objets « externes » ceux dont la définition requiert l’usage du mot « standard » et ses dérivés. Par exemple l’ensemble s† des entiers standards n’est pas un ensemble des mathématiques classiques.

L’analyse non-standard repose sur une nouvelle théorie des ensembles (IST : Internal Set Theory) qui postule trois axiomes pour régir l’utilisation du mot standard en plus des axiomes de la mathématique classique (ZFC ou Zermelo, Fraenkel & Cohen ). Ce sont :

1- Si E est un objet interne défini à partir d’objets standards alors E est standard.

2- Tous les éléments d’un ensemble interne sont standards si et seulement si  cet ensemble est fini.

3- Soit P une propriété portant sur l’objet mathématique x. Alors P(x) est vraie pour tout x ssi P(x) est vraie pour tout x standard.

Le premier principe traduit une hérédité du caractère standard au sein des objets internes : ainsi Æ est standard donc  1,2,3, † , ˆ , etc … sont standards

Le second principe nous permet d’affirmer que les ensembles formés uniquement d’objets standards sont finis : donc on trouvera des objets non-standards dans † par exemple.

Le troisième principe nous permet de travailler avec les objets non-standards comme avec les objets standards et transférant leurs propriétés.

Dans une première étape, considérons l’ensemble † des entiers. Il possède des éléments non-standards car il est non-fini.

Soit n un entier s de † . L’ensemble In des entiers tels que q<n est un ensemble interne, fini donc tous ses éléments sont standards, ainsi un entier non-standard est nécessairement plus grand que n et ce quelque soit n. Un entier non-standard est donc supérieur à tout entier standard. Un entiers non-standard est appelé « entier illimité » et les entiers standards « entiers limités ». Nonobstant tout entier standard ou non-standard est fini.

Pour les réels ( standards  ou non-standards) on a les définitions suivantes :

x est limité ssi $ n , entier limité / x<n

x est illimité ssi il est plus grand que tout entier limité

x est infinitésimal ssi |x| < 1/n pour tout entier limité n ( ce qui revient à dire que x est infinitésimal ssi x ¹ 0 est l’inverse d’un réel illimité)

x est appréciable ssi il n’est ni illimité ni infinitésimal

x est infiniment voisin de y ssi x-y est infinitésimal 

Il y a donc trois types de réels : les illimités, les appréciables et les infinitésimaux , chacun pouvant être standard ou non [5].

On retrouve définis les quantités « évanescentes» de Newton ou les « infinis » utilisés par Euler sans trop de rigueur dans une théorie mathématique et non plus seulement avec des mots. Les notions de « grands nombres » , de « nombres négligeables » et autres  prennent  alors un sens précis et opératoire en particulier la « table de Pythagore » donnée en exemple dans l’introduction à ce chapitre . Cette approche des infinitésimaux reprend finalement la problématique de Liebniz et ses « différences ».

Voyons comment utiliser cette théorie. D’abord une analogie: soit à mesurer un objet comme une feuille de papier dont on sait que les dimensions sont « standard » donc on sait que ses mesures sont un multiple des dimensions standard des papiers par exemple des multiples de 10.5 cm (format du A5). Une mesure vite faite peut me permettre d’affirmer que la feuille fait entre 40 et 45 cm soit entre 3.5 et 4.5 fois l’unité : alors puisque la mesure est standard (dans ce cas elle est entière) je peux en conclure avec précision que la mesure est exactement 4 unités donc 42 cm.

Deux réels standards sont égaux ssi leur différence est infinitésimale d’où la méthode.

En fin de compte, l’analyse non-standard introduit un modèle apparemment finitaire des nombres réels où un nombre réel standard x peut être vu comme un halo de nombres (non nécessairement standard) situés à une distance infinitésimale de x. De loin (à une échelle macroscopique) , le conglomérat de ces halos a toutes les caractéristiques du continu. Jouant sur les échelles micro & macroscopiques, l’analyse non-standard fournit une théorie finitaire du continu et arithmétise de nombreuses procédures d’analyse classique.

 La conséquence générale de ces tentatives pour capter l’infini dans le fini est qu’il devient légitime de s’interroger sur la nécessité théorique d’assumer toute l’échelle des cardinaux transfinis de Cantor. Il semble que, pour l’essentiel des mathématiques applicables à la physique, il ne soit pas logiquement nécessaire d’accepter l’infini actuel et que pour l’analyse fonctionnelle on  puisse se restreindre à l’infini dénombrable, remplaçant les ensembles par des suites.

La demoiselle du téléphone, en charge du standard

CONCLUSION (PROVISOIRES)

Le Laboratoire d’Inventions Scientifique(s) a bien l’intention de poursuivre ces travaux et ses Ingénieurs & Techniciens aimeraient bien comprendre un jour ce qu’est l’infini.

Tel un trou noir, l’infini est troublant. Si le temps est infini est ce que cela implique nécessairement comme le croient Guénon, Eliade et autres initiés que l’éternel retour ait lieu ?

  Et que la bibliothèque borgésienne de Babel soit complète ?

Nous offrons ces travaux in progress à messieurs Deleuze, Virilio [6], Derrida voire Bourdieu, mâdâme Kristeva [7] et autres intellectuels français afin de leur procurer de nouvelles notions pour filer des métaphores encore plus percutantes que celles que l’on trouve dans les articles publiés dans les revues spécialisées.[8]

Toute remarque, complé(i)ment, errata, addenda seront bienvenus et aideront à mener ce cahier vers la perfection, idéal  asymptote à l’infini.

Le collectif des Cahiers de l’Amicale du Laboratoire d’Inventions Scientifique(s)